Ce sunt fractalii?

Fractalii sunt structuri rafinate produse de natură, care se ascund chiar în faţa ochilor noştri, în jurul nostru.

Acestea sunt dificil de definit cu precizie, deşi majoritatea sunt legate printr-un set de patru caracteristici comune fractale: complexitate infinită, simetrie zoom, complexitate din simplitate şi dimensiuni fracţionale - toate vor fi explicate mai jos.

Următoarea ferigă pe care o veţi întâlni vă va oferi o mai bună ilustrare a acestor caracteristici, dacă vă opriţi să priviţi cu atenţie. În primul rând, observaţi că forma ferigii este foarte detaliată. Remarcabil este că veţi putea vedea că frunzele sunt modelate drept copii mai mici ale ramurilor.

De fapt, feriga în întregime este în cea mai mare parte construită din aceeaşi formă de bază repetată la scări tot mai mici. Cel mai uimitor aspect dintre toate, matematica fractală arată că această frunză umilă de ferigă nu este o formă mono- sau bi-dimensională, ci este situată undeva la mijloc.

Exact ce formă are această ferigă?

Geometria euclidiană clasică predată în liceu nu reuşeşte să răspundă la această întrebare simplă. Deşi cilindrii şi dreptunghiurile pot fi de ajutor în modelarea formelor tehnologice, găsim câteva preţioase forme regulate în lumea naturală.

Cum putem descrie o ferigă ca o formă matematică precisă? Cum putem construi un model matematic al acestui obiect minunat? Intraţi într-o lume complet nouă de forme frumoase: o ramură a matematicii cunoscută sub numele de geometria fractală.

1. Complexitatea infinită

Multe modele ale naturii sunt atât de neregulate şi de fragmentate că, în comparaţie cu Euclid ... Natura nu prezintă pur si simplu un grad mai mare, ci un nivel cu totul diferit de complexitate (Benoit Mandelbrot - Geometria fractală a naturii).

În 1861, descoperirea primului fractal din lume a trimis unde de şoc în interiorul comunităţii matematice.

Dacă luaţi un pix şi desenaţi zig-zag-uri, în final veţi avea o serie de colţuri ascuţite legate între ele prin linii netede. Pentru a arăta că asta se poate face, matematicianul german Karl Weierstrass a construit un zig-zag atât de zimţat încât avea numai colţuri – un staccato matematic final.

Nu contează de câte ori a fost mărită formă, orice licărire de linie netedă se dizolva în mod invariabil într-o cascadă nesfârşită de colţuri, unite din ce în ce mai strâns. Forma lui Weierstrass avea detalii neregulate la fiecare scară posibilă - prima caracteristică cheie dintr-o formă fractal.

Matematicienii au etichetat forma lui Weierstrass drept "patologică", din moment ce sfida toate instrumentele de calcul încercate şi testate, care au fost atât de minuţios create în ultimele câteva sute de ani. Aceasta a rămas doar o bucăţică tentantă dintr-o formă complet nouă, până când puterea modernă de calcul a oferit matematicienilor cheile spre ţara promisă.

2. Simetria zoom

M-am trezit, cu alte cuvinte, construind o geometrie ... din lucruri care nu aveau geometrie.

Benoit Mandelbrot-, 1924-2010

Înflorirea geometriei fractale într-o nouă ramură a matematicii se datorează în mare parte matematicianului polonez Benoit Mandelbrot şi eseului său din 1977 Geometria fractală a naturii

Discursul lui Mandelbrot, Fractalii şi Arta Rugozităţii la TED2010.

Mandelbrot a lucrat pentru IBM New York în anii 1960. Având puterea imensă de calcul a companiei la dispoziţia sa, el a reuşit să exploreze ciudata lume nouă a fractalilor, pentru prima dată.

Poate că cei mai faimoşi fractali de azi sunt setul Mandelbrot, numit după descoperitorul său. Să-l desenezi exact este imposibil, dar poate fi aproximat prin colorarea separată a fiecărui punct din plan.

Pentru a alege culoarea potrivită pentru un anumit punct, vom aplica punctului în mod repetat o regulă simplă a mişcării şi vom vedea de cât timp are nevoie pentru că punctul să "iasă" din pagină. Deşi practic este imposibil să se creeze de mână, applet-urile moderne interactive vă permit să creaţi şi să exploraţi aceste seturi în timp real.

Aceste programe de calculator vă permit să observaţi un nou tip de simetrie asociat cu fractalii. Pentru matematicieni, simetria este o acţiune care, atunci când se aplică unei forme, o va face să arate (mai mult sau mai puţin) în acelaşi mod.

De exemplu, noi spunem că un pătrat are o simetrie de rotaţie, deoarece nu există nici o modalitate prin care să ne dăm seama dacă un pătrat a fost rotit cu 90 de grade atunci când ne uităm la el.

Complexitatea infinită a fractalilor le permite un tip complet nou de simetrie, care nu se găseşte în formele obişnuite. Incredibil, dar apropierea (zoom-ul) unei regiuni mai mici a unui fractal ne face să privim aceeaşi formă ca la început. Biţi mici de fractali pot arăta exact la fel ca un fractal întreg.

Departe de a fi o curiozitate matematică, această simetrie zoom poate fi găsită peste tot în natură – când ştim ce căutăm.

3. Complexitate din simplitate

Minuni infinite ies la iveală din reguli simple ce se repetă fără sfârşit.

Benoit Mandelbrot-, 1924-2010

Pe măsură ce Mandelbrot analiza cu atenţie fractalii, matematicianul britanic Michael Barnsley (în prezent la Universitatea Naţională Australiană) aborda aceleaşi obiecte dintr-un unghi diferit.

Deşi geometria formelor fractale este infinit de complexă, cea de-a treia trăsătură a fractalilor este că complexitatea lor rezultă din cele mai simple definiţii de bază. Forma unui fractal poate fi complet capturată de o listă mică de imagini matematice, care descriu exact modul în care sunt aranjate copiile mai mici pentru a forma fractalul complet.

Cartea influentă din 1988 a lui Barnsley, Fractali Pretutindeni, conţinea un algoritm cunoscut sub numele Jocul lui Chaos, care permitea calculatoarelor să genereze rapid orice formă fractală din imaginile sale cunoscute.

Jocul lui Chaos avea un punct de plecare în spaţiu şi urmărea mişcarea sa pe măsură ce sărea de colo colo. Fiecare salt era determinat prin selectarea la întâmplare a uneia dintre acele imagini.

Remarcabil, indiferent de punctul de pornire şi de ordinea în care erau traversate acele imagini, punctul era repede absorbit într-un "atractor straniu" – contur fractal – iar odată ajuns acolo, acesta ar dansa în jurul său pentru totdeauna.

Aceşti atractori fractali se află în centrul Teoriei Haosului. Din moment ce comportamentul unui sistem haotic dansează şi el în jurul unui atractor fractal, complexitatea infinită a formelor fractale înseamnă că cel mai mic ghiont dat sistemului poate deplasa complet punctul de lângă atractor.

Crucial este că Barnsley a găsit o modalitate de a lua orice formă dorită şi a calcula lista sa de imagini fractale. Deoarece forma complexă putea fi în întregime reconstruită din hărţi simple, algoritmii lui Barnsley au avut un rol esenţial în noul domeniu al compresiei de imagini - permiţând ediţiei originale a Microsoft Encarta să includă zeci de mii de imagini pe un singur CD.

4. Dimensiunile fracţionare

Natura a jucat o glumă matematicienilor. Se poate ca matematicienii secolului al XIX-lea să fi fost lipsiţi de imaginaţie, dar natura nu a fost.

FJ Dyson, după cum a fost citat de Benoit Mandelbrot, Natura Fractală a Geometriei

Ultima caracteristică şi cea mai izbitoare a fractalilor este că nu sunt mono-, bi- sau tri- dimensionali, ci undeva la mijloc. Natura pare perfect fericită să utilizeze dimensiuni fracţionare, deci la fel ar trebui să fie şi cazul nostru. Pentru a face acest lucru trebuie să clarificăm mai întâi ce înţelegem prin "dimensiune".

Ideea de "dimensiune" are diferite (dar consistente) definiţii matematice. Intuitiv, putem considera dimensiunea unei forme drept o măsurare a rugozităţii formei, sau un scor care reflectă cât de bine umple acea formă spaţiul din jurul său.

Aceste idei intuitive pot deveni precise din punct de vedere matematic. Pentru a ilustra o dimensiune fracţionară, gândiţi-vă la o bucată de hârtie, care este (practic) bidimensională. O sferă solidă este tridimensională şi umple mai mult spaţiu decât bucata de hârtie.

Acum mototoliţi hârtia şi formaţi o minge. Acum aveţi o formă asemănătoare fractalilor care umple mai mult spaţiu decât hârtia, dar nu la fel de mult spaţiu ca sfera solidă. Aceasta reprezintă aproximativ 2,5 din dimensiunea sa.

În mod similar, plămânii dumneavoastră sunt circa 2.97 dimensionali - geometria lor fractală le permite să ambaleze o suprafaţă mare (câteva terenuri de tenis) într-un volum mic (câteva mingi de tenis). Ambalarea unei suprafeţe imense în corpul dumneavoastră vă oferă posibilitatea de a extrage suficient oxigen pentru a rămâne în viaţă.

Fractalii pot fi găsiţi peste tot în lumea din jurul vostru, de la o ferigă umilă la structura universului la cea mai mare scară.

Chiar şi anumite părţi ale anatomiei dvs. sunt fractale, inclusiv creierul. Dacă analizaţi cu atenţie fractalii, veţi descoperi o mare varietate de locuri în care îi puteţi găsi în rutina zilnică, de la nori, plante şi peisaje la ferestre de biserici şi laboratoare ...

Matematica fractală nu numai că ne permite să începem modelarea formelor din natură, dar ne poate retrezi mirarea noastră copilărească faţă de lumea din jurul nostru.

Cu mulţumiri lui Jon Borwein.

Acest articol a fost publicat iniţial de The Conversation.